Question

17．如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于点E，已知AD=AB，连接BE交AD于点F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③S_△ABF=3S_△DEF；④△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE=CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD=∠ABE，通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出EF=FH=$\frac{1}{2}$HB，根据等高的两三角形的面积关系求出AF=DF，S_△ABF=3S_△DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△DEF与△DAE不相似．根据以上的分析可以得出正确的选项答案．

解答 解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，CD=BD，
∴CE=BE，故①正确；

∴∠C=∠7，
∵AD=AB，
∴∠8=∠ABC=∠6+∠7，
∵∠8=∠C+∠4，
∴∠C+∠4=∠6+∠7，
∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故②正确；

作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD=AB，DE⊥BC，
∴∠2=∠3，DG=BG=$\frac{1}{2}$BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，DE=AH，∠EDA=∠3，∠5=∠1，
∴在△DEF与△AHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDA=∠3}\\{∠5=∠1}\\{DE=AH}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△AHF（AAS），
∴AF=DF，EF=HF=$\frac{1}{2}$EH，且EH=BH，
∴EF：BF=1：3，
∴S_△ABF=3S_△AEF，
∵S_△DEF=S_△AEF，
∴S_△ABF=3S_△DEF，故③正确；
∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3，
∴∠5=∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故④错误．
综上所述：正确的答案有3个．
故选：C．

点评 本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．