题目内容
11．定义：如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如图1，AD是△ABC的中点，则有S△ADC=S△ABD，所以直线AD就是△ABC的一条面积等分线．
探究：
（1）如图2，梯形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，那么有S△AED=S梯形ABCD，请你给出这个结论成立的理由．
（2）在图2中，过点A用尺规作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）．
类比：
（3）如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否画出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
分析 （1）利用平行线的判定得出四边形ABEC为平行四边形，根据等底等高可得S△ABC=S△AEC，即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
（2）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法，可以先作DE的垂直平分线，找到DE的中点G，再连接AG即可；
（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照（2）进行．
解答 解：（1）因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形，
所以BE∥AC，
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S△ABC=S△AEC，
所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
（2）过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：
作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG．
则AG是梯形ABCD的面积等分线；
（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC=S△AEC，
所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．
因为S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：
点评 本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．
练习册系列答案
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