Question

18．如图，直线l₁：y=kx+b过点A（0，4），点D（4，0），直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴交于点C，两直线l₁，l₂相交于点B，点B的横坐标为2．
（1）求直线l₁的解析式和点B的坐标；
（2）当x取什么范围时，kx+b＜$\frac{1}{2}$x+1；
（3）求△ABC的面积，点P是直线BC上的动点，若△ABP的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标．
（4）在第二象限是否存在点P，使得△PAC是等腰直角三角形？若存在，直接求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法确定出直线l₁解析式，进而得出点B坐标；
（2）由图象和（1）的结论直接写出结论；
（3）直接用三角形的面积公式即可得出结论；
（4）分三种情况，用等腰直角三角形的性质建立方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线l₁：y=kx+b过点A（0，4），点D（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线l₁的解析式为y=-x+4；
∵两直线l₁，l₂相交于点B，点B的横坐标为2，
∴y=2，
∴B（2，2）；
（2）由（1）知，B（2，2），
由图象知，x＜2时，kx+b＜$\frac{1}{2}$x+1；
（3）如图1，

∵直线l₂：y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴交于点C，
∴C（-2，0），E（0，1），
∵A（0，4），
∴AE=3
∴S_△ABC=S_△AEC+S_△AEB=$\frac{1}{2}$AE×|x_C|+$\frac{1}{2}$AE×|x_B|=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×2=6，
∵S△AEB=$\frac{1}{2}$AE×|x_B|=3，
∵△ABP的面积是△ABC面积的一半，
∴S_△ABP=3，
∴点E和P重合，
∴P（0，1），
∵S_△ABP=3，
∴点B是EP的中点，
∵E（0，1），B（2，2），
∴P（4，3），
∴满足条件的点P的坐标为（0，1）或（4，3）；
（4）如图2，由（3）知，C（-2，0），∵A（0，6），
∴AC=2$\sqrt{10}$，直线AC的解析式为y=3x+6，
∵△PAC是等腰直角三角形，
∴①当点A为直角顶点时，AP1⊥AC，
∴直线AP1的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+6，
设点P₁（m，-$\frac{1}{3}$m+6），
∵A（0，6），
∴AP₁²=m²+（-$\frac{1}{3}$m+6-6）²=40，
∴m=-6或m=6（舍），
∴P（-6，8），
②当点C是直角顶点时，同①的方法得出点P₂（-8，2），
③当点P是直角顶点时，如图P₃，点P₃是线段P₂A的中点，
∴P₃（-4，4），
∴满足条件的点P坐标为（-6，8），（-8，2），（-4，4），

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，坐标系中两点间的距离公式，中点坐标的求法，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是计算三角形的面积的方法，难点是分类讨论思想，是一道中等难度的中考常考题．