Question

17．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b²-4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 ①因为点（-1，0），（3，0）在二次函数上，所以a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；
②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标-$\frac{b}{2a}$=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；
③函数图象与x轴两个交点，可知b²-4ac＞0，故③正确；
④由图象可知$-\frac{b}{2a}=1$，则b=-2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=-2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．

解答 解：A．①因为点（-1，0），（3，0）在二次函数上，所以a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标-$\frac{b}{2a}$=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；
③函数图象与x轴两个交点，可知b²-4ac＞0，故③正确；
④由图象可知$-\frac{b}{2a}=1$，则b=-2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=-2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．
故选项A正确；
B．①因为点（-1，0），（3，0）在二次函数上，所以a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；
②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标-$\frac{b}{2a}$=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；
③函数图象与x轴两个交点，可知b²-4ac＞0，故③正确；
④由图象可知$-\frac{b}{2a}=1$，则b=-2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=-2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．
故选项B错误；
C．①因为点（-1，0），（3，0）在二次函数上，所以a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；
②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标-$\frac{b}{2a}$=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；
③函数图象与x轴两个交点，可知b²-4ac＞0，故③正确；
④由图象可知$-\frac{b}{2a}=1$，则b=-2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=-2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．
故选项C错误；
D．①因为点（-1，0），（3，0）在二次函数上，所以a-b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；
②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标-$\frac{b}{2a}$=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；
③函数图象与x轴两个交点，可知b²-4ac＞0，故③正确；
④由图象可知$-\frac{b}{2a}=1$，则b=-2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=-2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．
故选项D错误．
故选A．

点评 本题考查学生对二次函数图象与系数的理解，并且会巧妙的对一些式子进行变形得到想要的结论．