Question

7．如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，PA为直径作⊙O₁，交PO于点B，交⊙O于点C，连结PC并延长交⊙O于点D．连结BD．
（1）求证：PA²=PO•PB；
（2）已知：PB=4，BO=2，∠APD=60°，求BD之长．

Answer 1

分析 （1）连结AB，OA，如图1，利用圆周角定理，由PA为⊙O₁的直径得到∠ABP=90°，再根据切线的性质得到∠PAO=90°，则可判断Rt△PAB∽Rt△POA，根据相似三角形的性质得$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PB}{PA}$，然后根据比例性质即可得到结论；
（2）连结AD，AC，如图2，利用PA²=PO•PB可计算出PA=2$\sqrt{6}$，利用PA为⊙O₁的直径得到∠ABP=90°，则可判断AD为⊙O的直径，即点O在AD上，于是根据切线的性质得∠DAP=90°，利用勾股定理计算出OA=2$\sqrt{3}$，所以OD=OA=2$\sqrt{3}$，再计算出PD=6$\sqrt{2}$，然后判断△OBD∽△ODP，则利用相似比可计算出BD．

解答 （1）证明：连结AB，OA，如图1，
∵PA为⊙O₁的直径，
∴∠ABP=90°，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
而∠BPA=∠APO，
∴Rt△PAB∽Rt△POA，
∴$\frac{PA}{PO}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴PA²=PO•PB；
（2）解：连结AD，AC，如图2，
∵PA²=PO•PB；
∴PA=$\sqrt{（4+2）×4}$=2$\sqrt{6}$，
∵PA为⊙O₁的直径，
∴∠ABP=90°，
∴∠ACD=90°，
∴AD为⊙O的直径，即点O在AD上，
∵PA切⊙O于点A，
∴AD⊥PA，
∴∠DAP=90°，
在Rt△APO中，OA=$\sqrt{P{O}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴OD=OA=2$\sqrt{3}$，
在Rt△APD中，PD=$\sqrt{A{P}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∵$\frac{OD}{OP}$=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
而∠BOD=∠DOP，
∴△OBD∽△ODP，
∴$\frac{BD}{PD}$=$\frac{OB}{OD}$，即$\frac{BD}{6\sqrt{2}}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$，
∴BD=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．