Question

【题目】如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为．

（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；

（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；（2）m＝或m＝．

【解析】

(1)先由直线解析式求出点B,C坐标,利用∠OCA正切值求得点A坐标,再利用待定系数法求解可得;

(2)由平移知点P`坐标为(1,-1-m),设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC交于点M

知M(1,- ),先得出S△ABP′＝ABP′H＝×4（m+1）＝2（m+1）,S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′MOB＝3|﹣m|,根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得

解：（1）∵y＝x﹣3，

∴x＝0时，y＝﹣3，

当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，

∴点B（6，0），C（0，﹣3），

∵tan∠OCA＝，

∴OA＝2，即A（2，0），

将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，

解得b＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，

则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；

（2）如图，

由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），

设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣），

S△ABP′＝ABP′H＝×4（m+1）＝2（m+1），

S△BCP′＝S△P′MC+S△span>P′MB＝P′MOB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，

∴2（m+1）＝3|﹣m|，

解得m＝ 或m＝ ．