Question

18．如图，在直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0）和点B（4，0），与y轴的交点是C．
（1）求出抛物线的表达式、对称轴；
（2）M为抛物线上一动点，是否存在点M，使得S_△ABM=$\frac{5}{4}$S_△COB？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点坐标代入y=ax²+bx+2，解方程组即可解决问题．
（2）存在．根据S_△ABM=$\frac{5}{4}$S_△COB，列出方程求出点M纵坐标，再利用待定系数法求出点M坐标即可．

解答 解：（1）把A、B两点坐标代入y=ax²+bx+2，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$．

（2）存在．
理由：当x=0时，y=2，即C（0，2），
在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×4=4．
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×AB•|M_y|=5，
∵AB=5，
∴M_y=±2，
当y=2时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得x=0或3，
当y=-2时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，解得x=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∴M点坐标为（0，2）或（3，2）或（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．