题目内容

如图正方形ABCD中，E是边BC上一动点，BC=nBE，DO⊥AE于点O，CO的延长线交AB于点F．
（1）当n=2时，DO=AO；OE=AO．
（2）当n=3时，求证 $数学公式$ ．
（3）当n=__时，F是AB的5等分点．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，DO⊥AE，
∴∠EAD=∠AEB，∠B=∠AOD，
∴△AOD∽△EBA，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵AB=BC=2BE，
∴2AO=AD，
∴OE= $\text{[math]}$ AO．
故答案为：2， $\text{[math]}$ ；

（2）证明：延长AE与DC，相交于G，
设AB=3a，BE=a，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EC，
∴CG=2AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴AO= $\text{[math]}$ OD，OG=3OD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵△AFO∽△GCO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵△ABE∽△GCE，
∴ $\text{[math]}$ ，
即： $\text{[math]}$ ，
∴CG=6a，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ：9a²= $\text{[math]}$ ．

（3）∵延长AE与DC，相交于G，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EG，

∴CG=（n-1）AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴AO= $\text{[math]}$ OD，OG=nOD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵△AFO∽△GCO，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵AF= $\text{[math]}$ AB，
∴ $\text{[math]}$ ，
即：n²-5n+5=0，
解得：n= $\text{[math]}$ ．
∴当n= $\text{[math]}$ 时，F是AB的5等分点．
分析：（1）根据三角形相似得出2AO=AD，OE= $\text{[math]}$ AO．
（2）利用△AFO∽△GCO，以及△ABE∽△GCE分别求出CG=6a， $\text{[math]}$ ，即可得出答案；
（3）假设F是AB的5等分点，利用三角形相似，即可求出答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．此题综合性较强，那难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．