Question

如图正方形ABCD中，E是边BC上一动点，BC=nBE，DO⊥AE于点O，CO的延长线交AB于点F．
（1）当n=2时，DO=

 

AO；OE=

 

AO．
（2）当n=3时，求证

S四边形AFCD

S正方形ABCD

=

11

18

．
（3）当n=

 

时，F是AB的5等分点．

Answer 1

分析：（1）根据三角形相似得出2AO=AD，OE=

3

2

AO．
（2）利用△AFO∽△GCO，以及△ABE∽△GCE分别求出CG=6a，AF=

2

3

a，即可得出答案；
（3）假设F是AB的5等分点，利用三角形相似，即可求出答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，DO⊥AE，
∴∠EAD=∠AEB，∠B=∠AOD，
∴△AOD∽△EBA，
∴

AO

BE

=

AD

AE

=

OD

AB

，
∵AB=BC=2BE，
∴2AO=AD，
∴OE=

3

2

AO．
故答案为：2，

3

2

；

（2）证明：延长AE与DC，相交于G，
设AB=3a，BE=a，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EC，
∴CG=2AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴

AO

OD

=

OD

OG

=

AD

DG

=

1

3

，
∴AO=

1

3

OD，OG=3OD，
∴

AO

OG

=

1

9

，
∵△AFO∽△GCO，
∴

AF

CG

=

1

9

，
∵△ABE∽△GCE，
∴

AB

CG

=

BE

EC

，
即：

3a

CG

=

a

3a-a

，
∴CG=6a，
∴AF=

2

3

a；
∴

S四边形AFCD

S四边形ABCD

=

(AF+CD)×BC

2

=

( 2 3 a+3a)×3a

2

：9a²=

11

18

．

（3）∵延长AE与DC，相交于G，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EG，
∴CG=（n-1）AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴

AO

OD

=

OD

OG

=

AD

DG

=

1

n

，
∴AO=

1

n

OD，OG=nOD，
∴

AO

OG

=

1

n2

，
∵△AFO∽△GCO，
∴

AF

CG

=

1

n2

，
∵AF=

1

5

AB，
∴

1 5 AB

(n-1)AB

=

1

n2

，
即：n²-5n+5=0，
解得：n=

5± 5

2

．
∴当n=

5± 5

2

时，F是AB的5等分点．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．此题综合性较强，那难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．