如图所示.已知梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.AD=7.BC=10.CD=6.E是BC边上一动点.以BE为一边在BC上方作等边△BEF.联结AF．(1)当BF⊥AF时.求线段BE的长,(2)延长AF交边BC于点G.设BE=x.EG=y.求出y关于x的函数解析式.并写出定义域,(3)若⊙F是以点F为圆心.且同时与梯形的两条邻边所在的直线相切的圆.当这样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=7，BC=10，CD=6，E是BC边上一动点，以BE为一边在BC上方作等边△BEF，联结AF．
（1）当BF⊥AF时，求线段BE的长；
（2）延长AF交边BC于点G，设BE=x，EG=y，求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若⊙F是以点F为圆心，且同时与梯形的两条邻边所在的直线相切的圆，当这样的⊙F存在时，直接写出BE的长．

分析（1）先求出CH，进而用勾股定理得出DH即可得出AB，即可得出结论，
（2）先由等边三角形的性质得出FM，BM，BG，最后用相似三角形的性质建立方程即可得出函数关系式，用x+y≤10确定出自变量的范围；
（3）分两种情况用切线的性质及等边三角形的性质即可求出BE．

解答解（1）如图1，过点D作DH⊥BC，
∴∠DHB=∠DHC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴BH=AD=7，DH=AB，
∴CH=BC-BH=10-7=3
∵在Rt△CDH中，CH=3，CD=6，
∴DH=3$\sqrt{3}$，
∴AB=DH=3$\sqrt{3}$，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF=60°，
∴∠ABF=30°，
∵BF⊥AF，
∴∠AFB=90°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{3}$AF=$\frac{9}{2}$，
（2）如图2，过点F作FM⊥BC，
∵△BEF是等边三角形，
∴BM=EM=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$x，FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵EG=y，
∴GM=$\frac{1}{2}$x+y，GB=x+y
∵FM⊥BC，AB⊥BC，
∴FM∥AB，
∴△GMF∽△GBA，
∴$\frac{GM}{GB}=\frac{FM}{AB}$，∴$\frac{\frac{1}{2}x+y}{x+y}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{3\sqrt{3}}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}-3x}{6-x}$，
∵AF交边BC于点G，
∴x+y≤10，
∴x+$\frac{{x}^{2}-3x}{6-x}$≤10，
∴x≤$\frac{60}{13}$，∴0＜x≤$\frac{60}{13}$，
即：y=$\frac{{x}^{2}-3x}{6-x}$（0＜x≤$\frac{60}{13}$）；
（3）由（2）知，BM=x，FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴BM≠FM，
∴⊙F不可能和AB与BC同时相切，
①如图3，当⊙F与AB和AD同时相切时，∴FP=FQ，FP⊥AB，FQ⊥AD，
由（2）知，FP=BM=$\frac{1}{2}$BE，FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∵QM=AB=3$\sqrt{3}$，
∴FQ=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴$\frac{1}{2}$BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴BE=9-3$\sqrt{3}$，
②如图4，
当⊙F与AB和CD同时相切时，
∴FP=FQ，∠FQC=90°，
在图1中，在Rt△CHD中，CD=6，CH=3，
∴∠CDH=30°，
∴∠C=60°，
∵∠BEF=60°，
∴EF∥CD，延长PF交CD于N，
∴FN∥BC，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴FN=EC=10-BE，∠FDQ=60°，
在Rt△DQF中，sin∠FDQ=sin60°=$\frac{FQ}{FN}$，
∵FQ=FP=$\frac{1}{2}$BE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}BE}{10-BE}$，
∴BE=15-5$\sqrt{3}$．
即：⊙F与梯形两边同时相切时，BE为9-3$\sqrt{3}$或15-5$\sqrt{3}$．