Question

15．在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，且BD=$\frac{7}{2}$，连接AD，求证：AD⊥AC．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质得出BE=$\frac{1}{2}$BC=8，由勾股定理得：AE=6，AD²=AE²+DE²=$\frac{225}{4}$，DC²=（BC-BD）²=$\frac{625}{4}$，AC²=100，得出AC²+AD²=DC²，证出△DAC为直角三角形即可．

解答 证明：过点A作AE⊥BC于E，如图所示：
∵AB=AC=10，BC=16，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=8，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=6，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²=AE²+DE²=$\frac{225}{4}$，
在△ADC中：DC²=（BC-BD）²=$\frac{625}{4}$，AC²=100，
∴AC²+AD²=DC²，
∴△DAC为直角三角形，
∴DA⊥AC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解决问题的关键．