Question

18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB=150°，△ABC的面积=36+25$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接PP'，易证△APP′为等边三角形，同时△PP'B是直角三角形；过点A作AD垂直BP于点D，算出AD、PD，再用勾股定理算出AB，然后用公式直接求出面积．

解答 解：连接PP′，过点A作AD⊥BP于点D，如图，

由旋转性质可知，△APC≌△AP'B，
∴AP=AP'，P'B=PC=10，
∵∠P'AP=60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=AP=6，
∵PB=8，
∴P'B²=PB²+P'P²，
∴△PP'B是直角三角形，
∴∠P'PB=90°，
∵∠P'PA=60°，
∴∠APB=150°，
∴∠APD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}AP$=3，PD=$3\sqrt{3}$，
∴BD=8+3$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=100+48$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}$=36+25$\sqrt{3}$．
故答案为：150°；36+25$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函数、解直角三角形、等边三角形判定与性质、等边三角形的面积公式等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APP′为等边三角形以及△PP'B是直角三角形是解答本题的第一个关键；在得出∠APB为150°之后，“将特殊角或其补角放入直角三角形当中”是解答本题的第二个关键．