Question

16．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，求证：$\frac{CD}{AC}$+$\frac{CD}{BC}$为定值；
（2）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，O是对角线AC与BD的交点，过点O作BC的平行线交AB于F，求证O是EF的中点，并且$\frac{EF}{AD}$+$\frac{EF}{BC}$为定值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建四边形ECFD，证明四边形ECFD是正方形，根据DE∥BC和DF∥AC列比例式得①②式：相加得：$\frac{EC}{AC}+\frac{CF}{BC}$=$\frac{BD+AD}{AB}$=1，根据△ECD是等腰直角三角形得：EC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，代入可得结论；
（2）根据AD∥BC∥EF，得比例式：$\frac{EO}{AD}=\frac{EB}{AB}$，$\frac{FO}{AD}=\frac{FC}{CD}$，$\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{CD}$，得EO=FO，根据EF∥AD得比例式①和②，同（1）得：相加后化简得结论．

解答 证明：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵CD平分∠ACB，
∴ED=FD，
∵∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵ED=FD，
∴四边形ECFD是正方形，
∴EC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∵DE∥BC，
∴$\frac{EC}{AC}=\frac{BD}{AB}①$，
同理得：$\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB}②$，
①+②得：$\frac{EC}{AC}+\frac{CF}{BC}$=$\frac{BD+AD}{AB}$=1，
∵EC=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∴$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}CD}{AC}$+$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}CD}{BC}$=1，
∴$\frac{CD}{AC}+\frac{CD}{BC}$=$\sqrt{2}$；
（2）如图2，∵AD∥BC，EF∥BC，
∴AD∥BC∥EF，
∴$\frac{EO}{AD}=\frac{EB}{AB}$，
$\frac{FO}{AD}=\frac{FC}{CD}$，
$\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{CD}$，
∴$\frac{EO}{AD}=\frac{FO}{AD}$，
∴EO=FO，
∵EO∥AD，
∴$\frac{EO}{AD}=\frac{BO}{BD}$①，
同理可得：$\frac{FO}{BC}=\frac{OD}{BD}$②，
①+②得：$\frac{EO}{AD}+\frac{FO}{BC}$=$\frac{BO}{BD}+\frac{OD}{BD}$=1，
∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF，
∴$\frac{\frac{1}{2}EF}{AD}+\frac{\frac{1}{2}EF}{BC}$=1，
∴$\frac{EF}{AD}+\frac{EF}{BC}$=2．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形和正方形的性质和判定，有难度，本题证明的结论是定值问题，因此从平行线分线段成比例定理得比例式入手，运用类比的方法，将所得比例式①和②相加并进一步化简得出结论．