Question

11．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB，垂足为E，梯形的面积为80，CE=8．
（1）当AB：CD=5：3时，求AB与CD的长；
（2）当∠B=60°，且AD=BC时，求AB与CD的长．

Answer 1

分析 （1）设AB=5a，CD=3a，根据梯形的面积公式，列出方程即可解决问题．
（2）如图作DH⊥AB于H，由Rt△ADH≌Rt△BCE，推出AH=EB=CE÷tan60°=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，设CD=HE=x，由题意$\frac{1}{2}$（2x+$\frac{16}{\sqrt{3}}$）•8=80，列方程即可．

解答 解：（1）设AB=5a，CD=3a，
由题意$\frac{1}{2}$•（5a+3a）•8=80，
∴a=$\frac{5}{2}$，
∴AB=$\frac{25}{2}$，CD=$\frac{15}{3}$．

（2）如图作DH⊥AB于H，
∵CD∥AB，DH⊥AB，CE⊥AB，
∴DH=CE，
在Rt△ADH和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DH=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADH≌Rt△BCE，
∴AH=EB=CE÷tan60°=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，设CD=HE=x，
由题意$\frac{1}{2}$（2x+$\frac{16}{\sqrt{3}}$）•8=80，
∴x=10-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=10+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CD=10-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查梯形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．