Question

5．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，AD⊥AB交⊙0于点D，AD交BC于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）判断BF与⊙O的位置关系并加以证明；
（2）若AD=4，$\frac{AB}{BF}$=$\frac{4}{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明∠FBA+∠DBA=90°，根据切线的判定定理证明结论；
（2）作AM⊥BC于M，证明△DAB∽△BAF，根据相似三角形的性质定理得到比例式，求出BD和AB，证明△BMA∽△BAF，求出BM的长，得到答案．

解答 解：（1）连接BD，
∵AD⊥AB，
∴BD为⊙O的直径，
∵AF=AE，AD⊥AB，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠CBA=∠C=∠D，
∵∠D+∠DBA=90°，
∴∠FBA+∠DBA=90°，
∴BF是⊙O的切线；
（2）作AM⊥BC于M，
∵∠D=∠ABF，∠DAB=∠F，
∴△DAB∽△BAF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BF}{DB}$，
∴$\frac{AB}{BF}$=$\frac{AD}{DB}$，AD=4，
∴BD=5，AB=3，
∵△BMA∽△BAF，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴BM=$\frac{12}{5}$，
∴BC=2BM=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查的是切线的判定和相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．