Question

如图，顶点为A（－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）若点P的坐标是（－6,3），求△OPN的面积；

（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，

请解答下面问题：

       ① 求证：∠PNM＝∠ONM；

② 若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合

条件的点P的坐标.

Answer 1

1）解：设二次函数的表达式为，

        把点（0,0）代入表达式，解得.  ………………………………………1分

        ∴二次函数的表达式为，

即.   ……………………………………………………………2分

（2）解：设直线OP为，

将P（－6,3）代入，解得，

∴.

当时，.

∴M（－4,2）.   ……………………………………………………………………3分

∵点M、N关于点A对称，

∴N（－4,6）.

∴MN＝4.

∴.  ……………………………………………………4分

（3）①证明：设点P的坐标为，

其中，

       设直线OP为，

       将P代入，解得.

∴.

当时，.

∴M（－4,）.

∴AN＝AM＝＝.

设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，

则B（－4,0），C.

∴OB＝4，NB＝＝，PC＝，

NC＝＝.

则，.

∴.

又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，

∴△NCP∽△NBO.

∴∠PNM＝∠ONM. …………………………………………………………………6分

② （）.