Question

如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB=4米，∠ABC=60°.设AE=x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S米².

(1)求S与x的函数关系式；

(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元／米²，黄色花草的价格为40元／米².当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号).

Answer 1

(1)连接AC，BD.AC与EH的交点为M.

∵花坛为轴对称图形，

∴EH∥BD，EF∥AC.

∴△BEF∽△BAC.

∵∠ABC=60°，∴△ABC，△BEF是等边三角形.

∴EF=BE=AB-AE=4-x.

在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，

则EM=AE·cos∠AEM=x.

∴EH=2EM=x.

∴S=EH·EF=x·(4-x).

即S=-x²+4x.

(2)∵红色花草价格比黄色花草便宜，

∴当矩形面积最大时，购买花草的总费用最低.

又∵S=-x²+4x=-(x-2)²+4，

∴当x=2时，S_最大=4.易得S_{四边形ABCD}=8.

此时四个三角形的面积为8-4=4(米²).

∴最低总费用为：20×4+40×4=240(元).

答：当x=2时，购买花草所需的总费用最低，最低总费用是240元.