Question

11．已知半径为5的⊙O₁过点O（0，0），A（8，0），与y轴的正半轴交于点B，OE为直径，点M为弧OBE上一动点（不与点O、E重合），连结MA，作NA⊥MA于点A交ME的延长线于点N，则线段AN最长为$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 先判断出∠OAE=90°，根据勾股定理得出AE=10，再判断出△OAE∽△MAN得出AN=$\frac{AE•AM}{OA}$=$\frac{3}{4}$AM，即AM是直径时AM最大即可得出结论．

解答 解：如图，连接AE，∵A（8，0），
∴OA=8，
∵⊙O₁的半径为5，OE是⊙O₁的直径，
∴OE=10，
∵OE是⊙O₁的直径，
∴∠OAE=90°，
在Rt△OAE中，根据勾股定理得，AE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{A}^{2}}$=6，
∵NA⊥MA，
∴∠NAM=∠OAE=90°，
∵∠AOE=∠AMN，
∴△OAE∽△MAN，
∴$\frac{OA}{AM}=\frac{AE}{AN}$，
∴AN=$\frac{AE•AM}{OA}$=$\frac{6}{8}$×AM=$\frac{3}{4}$AM，要AN最长，
则有AM最长，而AM是⊙O1的弦，
∴AM最大是直径为10，
∴AN最大=$\frac{3}{4}$AM最大=$\frac{3}{4}$×10=$\frac{15}{2}$，
故答案为$\frac{15}{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作出辅助线判断出△OAE∽△MAN是解本题的关键．