Question

13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B分别为y轴、x轴上的点，链接AB，B点坐标为（8，0），∠OAB=45°，C是AB中点．

（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，P为线段AC上一点（不与A、C重合），连接OP，过B作OP的垂线，垂足为Q，连接CQ，求∠CQP的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，过O作OE⊥OP，在OE上取一点M，连接MB，使∠MBO=∠CQP，连接PM，交x轴于点N，连接OF，若F为BP垂直平分线上的点，当∠FNO=3∠FON时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CE⊥OB于E，过C作CF⊥OA于F，根据三角形的中位线的性质就看得到结论；
（2）如图2，连接OC，根据等腰直角三角形的性质得到OC⊥AB，由BQ⊥OP，得到∠PQB=∠PCO，推出△POC∽△PQB，根据相似三角形的性质得到$\frac{PC}{PO}=\frac{PQ}{PB}$，证得△PQC∽△PBO，即可得到结论；
（3）如图3，连接BF，过P作PH⊥OB于H，由∠MBO=∠CQP=45°，得到∠PBM=90°，根据线段垂直平分线的性质得到PF=FB，由等腰三角形的性质得到∠FPB=∠PBF，根据余角的性质得到∠FBM=∠FMB，等量代换得到OF=BF，证得∠FOB=∠FBO，设∠FOB=∠FBO=α，则∠FNO=3α，根据外角的性质得到∠MFB=2α，由三角形的内角和得到α=22.5°，求出∠FNO=67.5°，∠FON=22.5°，推出△POM是等腰直角三角形，得到OP=OM，∠OPM=45°，通过△POH∽△PBM，得到∠PON=∠BMN=67.5°，根据相似三角形的性质得到$\frac{OH}{BM}=\frac{OP}{PM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得BN=BM=$\sqrt{2}$OH，由OB=8，列方程解得OH=8-4$\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，过C作CE⊥OB于E，过C作CF⊥OA于F，
∴CE∥OA，CF∥OB，
∵C是AB中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$OA，CF=$\frac{1}{2}$OB，
∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，
∴OA=OB，
∵B点坐标为（8，0），
∴OB=8，
∴C（4，4）；

（2）如图2，连接OC，
∵△AOB是等腰直角三角形，C是AB中点，
∴OC⊥AB，
∵BQ⊥OP，
∴∠PQB=∠PCO，
∵∠QPC=∠CPQ，
∴△POC∽△PQB，
∴$\frac{PC}{PO}=\frac{PQ}{PB}$，
∴△PQC∽△PBO，
∴∠PQC=∠ABO=45°；

（3）如图3，连接BF，过P作PH⊥OB于H，
∵∠MBO=∠CQP=45°，
∴∠PBM=90°，
∵F为BP垂直平分线上的点，
∴PF=FB，
∴∠FPB=∠PBF，
∵∠BPF+∠BMP=∠PBF+∠FBM=90°，
∴∠FBM=∠FMB，
∴FB=FM，
∴PF=FM，
∵∠POM=90°，
∴PF=FM=OF，
∴OF=BF，
∴∠FOB=∠FBO，
∵∠FNO=3∠FON，
∴∠FNO=3∠FBO，
设∠FOB=∠FBO=α，则∠FNO=3α，
∴∠MFB=2α，
∴∠FMB=∠FBM=45°+α，
∴2α+2（45°+α）=180°，
解得：α=22.5°，
∴∠FNO=67.5°，∠FON=22.5°，
∴∠OFN=90°，
∴OF⊥PM，
∴△POM是等腰直角三角形，
∴OP=OM，∠OPM=45°，
∵∠HPB=∠PBH=45°，
∴∠OPH=∠BPM，
∵∠PHO=∠PBM=90°，
∴△POH∽△PBM，
∴∠PON=∠BMN=67.5°，
∵∠PNO=∠BNO，
∴∠OPN=∠NBM=45°，
∴∠PNO=67.5°，
∴∠PON=∠PNO，
∴OP=PN，
∴BN=BM，OH=HN，
∵△POH∽△PBM，
∴$\frac{OH}{BM}=\frac{OP}{PM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BN=BM=$\sqrt{2}$OH，
∵OB=8，
∴OH+HN+BN=OH+OH+$\sqrt{2}$OH=8，
解得OH=8-4$\sqrt{2}$，
∴BH=PH=4$\sqrt{2}$，
∴P（8-4$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，外角的性质，三角形的内角和，三角形中位线的性质，正确的周长辅助线是解题的关键．