Question

19．如图，一小球从斜坡O点抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-x²+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=$\frac{1}{2}$x刻画，小球的落点是A．
（1）求点A的坐标；
（2）连结抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可知点A是一次函数y=$\frac{1}{2}$x与二次函数y=-x²+4x的交点，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求得点P的坐标，从而可以求得△POA的面积．

解答 解：（1）$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4x}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
（2）∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴点P的坐标为（2，4），
作PC⊥x轴于点C交OA于点B，
将x=2代入y=$\frac{1}{2}$x，得y=$\frac{1}{2}×2$=1，
∴点B的坐标为（2，1），
∴PB=4-1=3，
∴S_△POA=S_△POB+S_△PAB=$\frac{3×2}{2}+\frac{3×\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．