Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（　　）
①AD=BD=BC；
②△BCD∽△ABC；
③AD²=AC•DC；
④点D是AC的黄金分割点．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD为等腰三角形，可得AD=BD=BC，①正确；由相似三角形的判定方法可得②正确；利用三角形相似的判定与性质得出③④正确，即可得出结果．

解答 解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵∠A=∠DBC，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴②正确；
③∵△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC²=CD•AC，
∵AD=BD=BC，AD²=CD•AC，
∴③正确；
④设AD=x，AC=AB=1，CD=AC-AD=1-x，
由AD²=CD•AC，得x²=（1-x），
解得x=±$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$-1（舍去负值），
∴AD=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∴④正确．
正确的有4个．
故选D．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．明确图形中的三个等腰三角形的特点与关系是解决问题的关键．