Question

16．用正方形纸折叠：将正方形纸片的一角折叠，使点A落在点A′处，折痕为EF，再把BE折过去与EA′重合，EH为折痕．

（1）AE=A′E，BE=B′E，∠FEH=90°；
（2）将正方形的形状大小完全一样的四个角按上面的方式折叠就得到了图2如图所示的正方形EFGH，且不重合的部分也是一个正方形；
①若点A′、B′、C′、D′恰好是B′E、C′H、D′G、A′F的中点，若正方形A′B′C′D′的面积是4，则大正方形ABCD的面积是36；
②如图3，A′E=B′H=C′G=D′F=3，正方形ABCD的周长比正方形A′B′C′D′的周长的2倍小36，你能求出正方形A′B′C′D′的边长吗？

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到△A′EF≌△AEF，△B′EH≌△BEH，根据全等三角形的性质得到AE=A′E，BE=B′E，∠AEF=∠A′EF，∠BEH=∠B′EH，即可得到结论；
（2）①由正方形A′B′C′D′的面积是4，求得A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=2，根据线段中点的定义得到EB′=HC′=GD′=FA′=4，根据折叠的性质得BE=BE′=4，求得AB=AE+BE=6，根据正方形的面积即可得到结论；
②设正方形A′B′C′D′的边长为x，根据题意列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵将正方形纸片的一角折叠，使点A落在点A′处，折痕为EF，再把BE折过去与EA′重合，EH为折痕，
∴△A′EF≌△AEF，△B′EH≌△BEH，
∴AE=A′E，BE=B′E，∠AEF=∠A′EF，∠BEH=∠B′EH，
∴∠FEH=∠FEA′+∠HEB′=$\frac{1}{2}$∠AEB=90°，
故答案为：A′E，B′E，90°；

（2）①∵正方形A′B′C′D′的面积是4，
∴A′B′=B′C′=C′D′=A′D′=2，
∵点A′、B′、C′、D′恰好是B′E、C′H、D′G、A′F的中点，
∴EB′=HC′=GD′=FA′=4，
根据折叠的性质得BE=BE′=4，
∴AB=AE+BE=6，
∴正方形ABCD的面积是36；
故答案为：36；
②设正方形A′B′C′D′的边长为x，
根据题意得：2×4x-36=4（x+3+3），
解得：x=15，
∴A′B′C′D′的边长=15．

点评 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，正方形的面积和周长的计算，线段中点的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．