Question

20．已知关于x的方程x²-（3k-1）x+2k（k-1）=0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）若此方程有两个实数根x₁，x₂，且（x₁-x₂）²=4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）确定判别式的范围即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁x₂，继而根据题意得出方程，解出即可．

解答 （1）证明：∵方程x²-（3k-1）x+2k（k-1）=0是一元二次方程，
∴△=（3k-1）²-4×2k（k-1）=（k+1）²≥0，
∴无论k为任何实数，方程总有实数根．

（2）解：∵此方程有两个实数根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3k-1，x₁x₂=2k（k-1），
∵（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
即（3k-1）²-4×2k（k-1）=4，
解得：k=1或k=-3．

点评 本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．