Question

12．如图所示，矩形PDOC的边OC在x轴上，OD在y轴上，点P在第一象限，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过点P，双曲线y=$\frac{2}{x}$交PD于点B，交PC于点A，四边形PBOA的面积为6．
（1）求k的值；
（2）连接AB与DC，判断△PAB与△PCD是否相似，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出△OCP的面积=△ODP的面积，由双曲线的性质得出△OAC的面积=△OBD的面积=1，求出矩形PDOC的面积=8，即可得出k的值；
（2）连接OP，由三角形的面积关系得出PB•PC=PA•PD，得出比例式$\frac{PB}{PD}=\frac{PA}{PC}$，再由公共角相等，即可证出△PAB∽△PCD．

解答 解：（1）∵四边形PDOC是矩形，
∴△OCP的面积=△ODP的面积，∠OCA=∠ODB=∠CPD=90°，
∵点A在双曲线y=$\frac{2}{x}$上，
∴△OAC的面积=△OBD的面积=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴△OAP的面积=△OBP的面积=$\frac{1}{2}$四边形PBOA的面积=3，矩形PDOC的面积=6+1+1=8，
∴k=8；
（2）△PAB与△PCD相似；理由如下：
连接OP，如图所示：
∵△OCP的面积=△ODP的面积，△OAC的面积=△OBD的面积，
∴△OAP的面积=△OBP的面积=$\frac{1}{2}$四边形PBOA的面积=3，
∵△OBP的面积=$\frac{1}{2}$PB•PC=3，△OAP的面积=$\frac{1}{2}$PA•PD，
∴PB•PC=PA•PD，
∴$\frac{PB}{PD}=\frac{PA}{PC}$，
又∵∠APB=∠CPD，
∴△PAB∽△PCD．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了常数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积关系；由矩形的性质和三角形的面积关系求出k的值是解决问题的关键．