题目内容
15．
已知抛物线交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴于C（0，-3），以AB为直径作⊙M，过抛物线上一点P作⊙M的切线PD，切点为D，交⊙M的切线AE于E，连接DM并延长交⊙M于N，连接AN，AD．（1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；
（2）若S四边形EAMD=4$\sqrt{3}$，求直线PD的函数解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S四边形EAMD=S△DAN？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）由题意设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入求出a，利用配方法求出顶点坐标即可．
（2）先证明△EAM≌△EDM（HL），又因为四边形EAMD的面积为4 $\sqrt{3}$，推出S△EAM=2 $\sqrt{3}$，推出 $\frac{1}{2}$AM•AE=2 $\sqrt{3}$，又AM=2，推出AE=2 $\sqrt{3}$，推出点E的坐标为E1（-1，2 $\sqrt{3}$）或E2（-1，-2 $\sqrt{3}$），接下来分两种情形求出点D的坐标即可利用待定系数法解决问题．
（3）由题意S四边形EAMD=2S△EAM，S△DAN=2S△AMD，推出S△AMD=S△EAM，推出E、D两点到x轴的距离相等，由PD与⊙M相切，推出点D与点E在x轴同侧，推出切线PD与x轴平行，此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，当y=2时，由y=x2-2x-3得，x=1±$\sqrt{6}$；当y=-2时，由y=x2-2x-3得，x=1±$\sqrt{2}$，由此即可求出点P坐标．
解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，
设抛物线的函数关系式为：y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线的函数关系式为：y=x2-2x-3，
又∵y=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）连接EM，∵EA、ED是⊙M的两条切线，
∴EA=ED，EA⊥AM，ED⊥MD，
∴△EAM≌△EDM（HL），
又∵四边形EAMD的面积为4 $\sqrt{3}$，
∴S△EAM=2 $\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AM•AE=2 $\sqrt{3}$，
又∵AM=2，
∴AE=2 $\sqrt{3}$，
因此，点E的坐标为E1（-1，2 $\sqrt{3}$）或E2（-1，-2 $\sqrt{3}$），
当E点在第二象限时，切点D在第一象限，
在直角三角形EAM中，tan∠EMA=$\frac{EA}{AM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠EMA=60°，
∴∠DMB=60°，
过切点D作DF⊥AB，垂足为点F，
∴MF=1，DF=$\sqrt{3}$，
因此，切点D的坐标为（2，$\sqrt{3}$），
设直线PD的函数关系式为y=kx+b，
将E（-1，2 $\sqrt{3}$），D（2，$\sqrt{3}$）的坐标代入得 $\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2\sqrt{3}}\\{2k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解之，得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
所以，直线PD的函数关系式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
当E点在第三象限时，切点D在第四象限，
同理可求：切点D坐标为（2，-$\sqrt{3}$），
直线PD的函数关系式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
因此，直线PD的函数关系式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
（3）若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积，
又∵S四边形EAMD=2S△EAM，S△DAN=2S△AMD，
∴S△AMD=S△EAM，
∴E、D两点到x轴的距离相等，
∵PD与⊙M相切，
∴点D与点E在x轴同侧，
∴切线PD与x轴平行，
此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2，
当y=2时，由y=x2-2x-3得，x=1±$\sqrt{6}$；
当y=-2时，由y=x2-2x-3得，x=1±$\sqrt{2}$，
故满足条件的点P的位置有4个，分别是P1（1+$\sqrt{6}$，2）、P2（1-$\sqrt{6}$，2）、P3（1+$\sqrt{2}$，-2）、P4（1-$\sqrt{2}$，-2）．
点评 本题考查二次函数、一次函数的应用、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法等重要知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，且AF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则当点P在线段AB上时，线段PB的长度为$\frac{44}{5}$-4$\sqrt{21}$．
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°．
如图，在?ABCD中，∠CAB=90°，OA=1cm，OB=2cm，求AC，AD的长．