Question

14．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AB上的点
（1）如图1，若BE平分∠CEF，求证CE+AF=EF；
（2）如图2，若BF平分∠ABE，求证：CE+AF=BE；
（3）如图3，若∠EBF=∠ABF+∠CBE，BC=6，BE=3$\sqrt{5}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）要证明CE+AF=EF，只要作BM⊥EF，连接BF，构造出合适的三角形，然后根据角平分线的性质，证明三角形全等，进而得到边相等，进行合理的转化即可证得结论成立；
（2）要证明CE+AF=BE，要作辅助线延长DC到点H，使得CH=AF，然后根据题目中的条件进行灵活变化即可证得结论成立；
（3）要求BF的长，可以做出合适的辅助线，然后根据三角形相似，可以求得BF的长．

解答 （1）证明：作BM⊥EF于点M，连接BF，如由图1所示，
∵BE平分∠CEF，BC⊥CE，BM⊥EF，
∴BC=BM，∠BCE=∠BME=90°，
∵BE=BE，
∴△BCE≌△BME（HL），
∴CE=EM，
∵∠BMF=∠BAF=90°，BF=BF，BM=BA，
∴△BMF≌BAF（HL），
∴AF=MF，
∵EF=EM+MF，
∴CE+AF=EF；
（2）证明：延长DC到点H，使得CH=AF，如由图2所示，
∵BA=BC，∠BAF=∠BCH=90°，AF=CH，
∴△BAF≌△BCH（SAS），
∴∠ABF=∠CBH，
∵∠CBH+∠CHB=90°，∠CBE+∠EBF+∠ABF=90°，BF平分∠ABE，
∴∠ABF=∠FBE，
∴∠HBC+∠CBE+∠ABF=90°，
∴∠CBH+∠HBE=90°，
∴∠CHB=∠HBE，
∴BE=EH，
∵EH=CE+CH，CH=AF，
∴CE+AF=BE；
（3）连接BD，作EM⊥BD于点M，如图3所示，
∵BC=6，BE=3$\sqrt{5}$，∠BCE=90°，
∴CE=$\sqrt{（3\sqrt{5}）^{2}-{6}^{2}}=3$，
∴DE=6-3=3，
∵EM⊥BD，∠BDE=∠DBC=45°，
∴EM=DM=DE•sin45°=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=CD=6，∠BCD=90°，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
∴BM=$6\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
∵∠EBF=∠ABF+∠CBE，∠MBE+∠CBE=45°，∠ABC=∠EBF+∠ABF+∠CBE=90°
∴∠ABF+∠CBE=∠MBE+∠CBE=45°，
∴∠ABF=∠MBE，
∵∠BAF=∠BME=90°，
∴△ABF∽△MBE，
∴$\frac{AB}{MB}=\frac{BF}{BE}$，
即$\frac{6}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{BF}{3\sqrt{5}}$，
解得，BF=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和三角形相似、全等的知识进行解答．