题目内容
4．
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于E，连接CA、CB，点M、N分别为CA、CB的中点，连接ME、NE．（1）试判断四边形CMEN的形状，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为4，设CE=x，①当x为何值时，四边形CMEN是正方形？②当x为何值时，四边形CMEN中有一个角是60°？
（3）在（2）的条件下，设四边形CMEN的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
分析 （1）首先证明四边形CMEN是平行四边形，再证明EM=EN即可．
（2）①当∠MCN=90°时，四边形CMEN是正方形，此时AB是直径，点E、O重合，由此即可解决问题．
②分两种情形求解，当∠ACB=60°，如图1中，连接OA，在RT△AOE中，根据OE=$\frac{1}{2}$OA=2，即可解决问题，当∠CME=60°时，则∠ACB=120°，证明△ACO是等边三角形，即可解决问题．
（3）根据S菱形CMEN=$\frac{1}{2}$MN•EC，求出NM即可解决问题．
解答 解：（1）结论：四边形CMEN是菱形．
理由：∵直径CD⊥AB于E，
∴AE=EB，CA=CB，
∵AM=CM，CN=NB，
∴EM∥BC，EN∥AC，EM=$\frac{1}{2}$BC，EN=$\frac{1}{2}$AC，
∴EM=EN，
∴四边形CMEN是平行四边形，
∵EM=EN，
∴四边形CMEN是菱形．
（2）①当∠MCN=90°时，四边形CMEN是正方形，
∴AB是直径，点E、O重合，
∴CE=CO=4．
②当∠ACB=60°，如图1中，连接OA，在RT△AOE中，∵∠AEO=90°，∠OAE=30°，OA=4，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴CE=OC+OE=5．
当∠CME=60°时，则∠ACB=120°，
如图2中，连接OA，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∵AE⊥OC，
∴CE=EO=2．
∴当x为5或2时，四边形CMEN中有一个角是60°．
（3）∵四边形CMEN是菱形，
∴S菱形CMEN=$\frac{1}{2}$MN•EC，
∵MN=$\frac{1}{2}$AB=AE=$\sqrt{{4}^{2}-（x-4）^{2}}$=$\sqrt{8x-{x}^{2}}$，
∴S菱形CMEN=$\frac{1}{2}$MN•EC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{8x-{x}^{2}}$•x=$\frac{x•\sqrt{8x-{x}^{2}}}{2}$，（0＜x＜8）．
点评 本题考查圆综合题、等边三角形的性质、正方形的性质垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，不能漏解，属于中考压轴题．
王悦同学喜欢吃水果，如图是她根据妈妈3月份买的三种水果绘制的扇形统计图，若橘子买了8kg，则王悦的妈妈该月苹果买了（ ）| A． | 5kg | B． | 6kg | C． | 7kg | D． | 8kg |
已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O．点E从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点F从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接EO并延长，交BC于点G，．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：