Question

6．如图，四边形OABC是菱形，对角线OB在x轴负半轴上，位于第二象限的点A和第三象限的点C分别在双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的一支上，分别过点A、C作y轴的垂线，垂足分别为E和F．下列结论：①|k₁|=|k₂|；②AE=CF；③若四边形OABC是正方形，则∠EAO=45°．其中正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 连接AC交OB于D，由菱形的性质得出AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，得出△AOD的面积=△COD的面积，由三角形的面积与k的关系即可得出①正确；
证出四边形ADOE是矩形，得出AE=DO，同理：CF=DO，得出AE=CF，②正确；
若四边形OABC是正方形，则∠AOB=45°，得出∠AOE=45°，求出∠EAO=45°，③正确；即可得出结论．

解答 解：连接AC交OB于D，如图所示：
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，
∴△AOD的面积=△COD的面积，
∵△AOD的面积=$\frac{1}{2}$|k₁|，△COD的面积=$\frac{1}{2}$|k₂|，
∴|k₁|=|k₂|，①正确；
∵AE⊥y轴，AC⊥BD，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
∵∠DOE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∴AE=DO，
同理：CF=DO，
∴AE=CF，②正确；
若四边形OABC是正方形，则∠AOB=45°，
∴∠AOE=90°-45°=45°，
∵∠AEO=90°，
∴∠EAO=45°，③正确；
正确的有3个，故选：D．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、菱形的性质、矩形的判定与性质以及正方形的性质；熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质是解题的关键．