Question

14．如图所示，二次函数y=-2x²+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S_△ABD=S_△ABC，请求出D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把点A坐标代入解析式，求出m的值，进而求出点B的坐标；
（2）根据二次函数的解析式求出点C的坐标，进而求出△ABC的面积；
（3）根据S_△ABD=S_△ABC求出点D纵坐标的绝对值，然后分类讨论，求出点D的坐标．

解答 解：（1）∵函数过A（3，0），
∴-18+12+m=0，
∴m=6，
∴该函数解析式为：y=-2x²+4x+6，
∴当-2x²+4x+6=0时，x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（-1，0）；
（2）C点坐标为（0，6），${S_{△ABC}}=\frac{4×6}{2}=12$；
（3）∵S_△ABD=S_△ABC=12，
∴S_△ABD=$\frac{4×|h|}{2}$=12，
∴|h|=6，
①当h=6时：-2x²+4x+6=6，解得：x₁=0，x₂=2
∴D点坐标为（0，6）或（2，6），
②当h=-6时：-2x²+4x+6=-6，解得：x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$
∴D点坐标为（1+$\sqrt{7}$，-6）、（1-$\sqrt{7}$，-6）
∴D点坐标为（0，6）、（2，6）、（1+$\sqrt{7}$，-6）、（1-$\sqrt{7}$，-6）．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解答（3）问需要分类讨论，此题难度一般．