题目内容
设a1，a2，…，a1995是1，2，3…，1995的任意一种排列，求证：（1-a1）（2-a2）…（1995-a1995）
必为偶数．
必为偶数．
分析：分析该题如果直接入手，没法证明，因而采用反证法．假设结果为奇数，通过已知条件，运用整数的奇偶性，推证与假设矛盾，最终问题得解．
解答：证明：假设结果为奇数
则（1-a1），（2-a2），…，（1995-a1995）必须都为奇数．
则（1-a1）+（2-a2）+…+（1995-a1995）必为奇数．
而1-a1+2-a2+…+1995-a1995是偶数
∴矛盾于假设，即（1-a1）（2-a2）…（1995-a1995）为偶数．
∴（1-a1）（2-a2）…（1995-a1995）必为偶数．
则（1-a1），（2-a2），…，（1995-a1995）必须都为奇数．
则（1-a1）+（2-a2）+…+（1995-a1995）必为奇数．
而1-a1+2-a2+…+1995-a1995是偶数
∴矛盾于假设，即（1-a1）（2-a2）…（1995-a1995）为偶数．
∴（1-a1）（2-a2）…（1995-a1995）必为偶数．
点评：本题考查整数的奇偶性问题．采用的方法是反证法，反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾．
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