题目内容
17、设a1，a2，…an，是n个任意给定的．求证：一定可以找到紧连在一起的若干个数，使得它们的和能被n整除．
分析：首先构造n个抽屉，被n除后余数可以为0、1、2、3、…（n-1），余数为0的符合题意，如果余数都不为0，则其中有两个余数相同，进一步作差问题得证．
解答：证明：根据题意构造抽屉{a1}，{a1+a2}，{a1+a2++an}；
若其中某个被n整除，则问题得解；
否则它们被n除得的余数是1，2，，n-1共n-1个抽屉，
而{a1}，{a1+a2}，，{a1+a2++an}共n个数放入n-1个抽屉，
所以必有2个数在同一抽屉，则设其为a1+a2+…+ai与a1+a2+…+aj，
∴（a1+a2++ai）-（a1+a2++aj）=aj+1++ai能被n整除，
∴即可找到紧连在一起的若干个数，其和被n整除．
若其中某个被n整除，则问题得解；
否则它们被n除得的余数是1，2，，n-1共n-1个抽屉，
而{a1}，{a1+a2}，，{a1+a2++an}共n个数放入n-1个抽屉，
所以必有2个数在同一抽屉，则设其为a1+a2+…+ai与a1+a2+…+aj，
∴（a1+a2++ai）-（a1+a2++aj）=aj+1++ai能被n整除，
∴即可找到紧连在一起的若干个数，其和被n整除．
点评：此题关键是构造出抽屉，利用有余数的除法进行探讨数的整除性问题．
练习册系列答案
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