题目内容
设a1，a2，…，an都是正数．试证：
| ||
| a2 |
| ||
| a3 |
| ||
| an |
| ||
| a1 |
分析：首先证明最简单的情况，即n=3时，利用配方法根据任何数的平方一定是非负数即可证明，然后把证明的方法推广到一般的情况即可．
解答：证明：欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证
+
+
≥a1+a2+a3…②
把②变形为
（
-a1）2+（
-a2）2+（
-a3）2≥0…③
即证
(a1-a2)+
(a2-a3)+
(a3-a1)≥0…④
由于④中左边有（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1），其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1）之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有
(a-b)≥(a-b)…⑤
事实上，由（a-b）2≥0有
a2-ab≥ab-b2，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以
≥（a-b）
根据⑤，④显然成立，因为
(a1-a2)+
(a2-a3)+
(a3-a1)≥（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a1）≥0，
从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
(a1-a2)+
(a2-a3)+…+
(an-1-a2)+
(an-a1)≥（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）+（an-a1）=0
| ||
| a2 |
| ||
| a1 |
| ||
| a1 |
把②变形为
（
| ||
| a2 |
| ||
| a3 |
| ||
| a1 |
即证
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a1 |
由于④中左边有（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1），其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1）之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有
| a |
| b |
事实上，由（a-b）2≥0有
a2-ab≥ab-b2，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以
| a |
| b |
根据⑤，④显然成立，因为
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a1 |
从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
| a1 |
| a2 |
| a2 |
| a3 |
| an-1 |
| an |
| an |
| a1 |
点评：本题主要考查了不等式的证明，把所证的式子转化为与所证的式子的等价情况是解题的关键．
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