Question

10．已知a、b均为有理数，且关于x的方程为$\frac{ax+ab}{96}$=$\frac{x-|b|}{12}$+1．
（1）当a=4，b=-$\frac{1}{2}$时，求x的值；
（2）若关于x的方程有无数个解．
①求a、b的值；
②设线段AB=a，CD=b，线段CD在直线AB上（A在B的左侧，C在D的左侧），且M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN的值．

Answer 1

分析 （1）把a=4，b=-$\frac{1}{2}$代入得到关于x的方程，解方程即可求得x；
（2）①由$\frac{ax+ab}{96}$=$\frac{x-|b|}{12}$+1可得（a-8）x=-8|b|-ab+96，根据关于x的方程有无数个解，可得a-8=0，-8|b|-ab+96=0，解方程即可求解；
②分三种情况：点C、D都在点A的左侧，点C在点A的左侧且点D在点A的右侧时，线段CD在线段AB上时；点C在点B的左侧，点D在点B的右侧时；点C、D都在点B的右侧时；进行讨论可求MN的值．

解答 解：（1）当a=4，b=-$\frac{1}{2}$时，方程变为$\frac{4x-2}{96}$=$\frac{x-\frac{1}{2}}{12}$+1，
化简，得$\frac{2x-1}{48}$=$\frac{2x-1}{24}$+1，
去分母，得2x-1=4x-2+48，
-2x=47，
x=-$\frac{47}{2}$；
（2）①去分母，得ax+ab=8x-8|b|+96，
（a-8）x=-8|b|-ab+96，
∵关于x的方程有无数个解，
∴a-8=0，-8|b|-ab+96=0，
解得a=8，
则-8|b|-8b+96=0，
当b≥0时，得-16b+96=0，
解得b=6，
当b＜0时，得8b-8b+96=0，无解．
综上可知，a=8，b=6．
②依题意有AB=8，CD=6，
当点C、D都在点A的左侧，点C在点A的左侧且点D在点A的右侧时，线段CD在线段AB上时，这三种情况均有BC＞CD，不合题意；
当点C在点B的左侧，点D在点B的右侧时，如图所示：
，
有BC＜CD，符合题意；
∵BC=4，CD=6，
∴BD=2，
∵N是线段BD的中点，
∴BN=1，
∴CN=CB+BN=4+1=5，
∵AB=8，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴MN=CM+CN=2+5=7；
当点C、D都在点B的右侧时，符合题意，如图所示：
；
则AC=AB+BC=8+4=12，BD=BC+CD=4+6=10，
∵M、N分别是线段AC、BD的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=6，BN=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴MN=CM+BN-BC=6+5-4=7．
综上所述，MN的值为7．

点评 此题考查了两点间的距离，一元一次方程的解，在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．