Question

4．若关于x的一元二次方程x²+4x+k+1=0有两个实数根x₁，x₂，且x₁²x₂²-x₁-x₂=29．
（1）求k的值；
（2）x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）根据韦达定理可得x₁+x₂=-4，x₁x₂=k+1及△=4²-4（k+1）≥0，求得k的取值范围，再代入x₁²x₂²-x₁-x₂=29，可得关于k的方程，解方程即可得；
（2）根据（1）中结果可得x₁+x₂=-4，x₁x₂=k+1=-3，再带入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂计算即可．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²+4x+k+1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=k+1，且△=4²-4（k+1）≥0，
解得：k≤4，
由x₁²x₂²-x₁-x₂=29可得（k+1）²+4=29，
解得：k₁=6（舍），k₂=-4；

（2）由（1）知，x₁+x₂=-4，x₁x₂=k+1=-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16+6=22．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握韦达定理及判别式的值与方程的根的个数是关键．