Question

8．问题探究
（1）如图1，点E为矩形ABCD内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为对角线AC上一点，且AC=3AP，请问在边CD上是否存在一点E，使得直线PE将矩形ABCD的面积分为2：3两部分，如果存在求出DE的长；如果不存在，请说明理由；
解决问题
（3）如图3，现有一块矩形空地ABCD，AB=80米，BC=60米，P为对角线AC上一点，且PC=3AP，计划在这块空地上修建一个四边形花园AECF，使得E、F分别在线段AD、AB上，且EF经过点P，若每平方米的造价为100元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计）．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD交于点O，作直线EO，直线EO将矩形ABCD的面积分为相等的两部分．
（2）如图2中，作MN∥BC，使得四边形BCMN的面积=$\frac{1}{5}$四边形ABCD的面积，连接AM、DN交于点O，作直线OP交CD于E，交AB于H，此时四边形ADEH的面积：四边形BCEH的面积=2：3．易知CM=BN=$\frac{8}{5}$，DM=AN=$\frac{32}{5}$，由△EOM≌△HAO，得到AH=EM，设AH=EM=x，由AH∥EC，推出$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{x}{x+\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{2}$，解得x=$\frac{8}{5}$，根据DE=DM-EM即可解决问题．
（3）如图3中，连接BD交AC于O，作OM⊥AD于M，ON⊥AN于N．想办法求出四边形AECF的面积的最大值和最小值即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

连接AC、BD交于点O，作直线EO，直线EO将矩形ABCD的面积分为相等的两部分．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠MCO=∠NAO，
在△MCO和△NAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCO=∠NAO}\\{∠COM=∠AON}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
△MCO≌△NAO，
∴S_△MCO=S_△NAO，
∵S_△ADC=S_△ABC，
∴S_{四边形ANMD}=S_{四边形BCMN}．

（2）如图2中，作MN∥BC，使得四边形BCMN的面积=$\frac{1}{5}$四边形ABCD的面积，
连接AM、DN交于点O，作直线OP交CD于E，交AB于H，此时四边形ADEH的面积：四边形BCEH的面积=2：3．

易知：CM=BN=$\frac{8}{5}$，DM=AN=$\frac{32}{5}$，
由△EOM≌△HAO，得到AH=EM，设AH=EM=x，
∵AH∥EC，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{x+\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{8}{5}$，
∴DE=DM-EM=$\frac{32}{5}$-$\frac{8}{5}$=$\frac{24}{5}$．

（3）如图3中，连接BD交AC于O，作OM⊥AD于M，ON⊥AN于N．

∵PC=3AP，OA=OC，
∴OP=OA，
∴过点P的任意直线将矩形ANOM的面积平分，
∵PC=3AP，
∴S_△EPC=3S_△EAP，
S_△PCF=3S_△APF，
∴S_{四边形AECF}=4S_△AEF，
当直线EF与对角线MN重合时，△AEF的面积最小（△AEF的面积=$\frac{1}{2}$矩形AMON的面积+△FNG的面积，所以△AEF的面积＞△AMN的面积），最小值=$\frac{1}{2}$矩形AMON的面积=600m²，
∴四边形AECF的面积的最小值为2400m²，
当点F与点B重合时，△NGF的面积最大，此时AE=$\frac{1}{3}$BC=20，
∴此时△AEF的面积最大，最大面积=$\frac{1}{2}$×80×20=800m²，
四边形AECF的面积的最大值为3200m²，
∵每平方米的造价为100元
∴修建该花园所需费用w的范围为240000元≤w≤320000元．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，记住平行四边形是中心对称图形，过对称中心的任意直线平分平行四边形的面积，属于中考压轴题．