Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒2个单位长度的速度运动．点P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AC的长．

（2）求线段BP的长．（用含t的代数式表示）

（3）设△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（4）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行或垂直时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当0≤t≤2时，BP=10-5t；当2＜t≤4时，BP=3·(t-2)=3t-6；（3）；（4）t=0或t=4或或或.

【解析】

（1）利用勾股定理可求AC；

（2）由题意可知，当0≤t≤2时，点P在AB上，当2＜t≤4时，点P在BC上（不包含B），分情况求解即可；

（3）分情况讨论：①当0≤t≤2时，②当2＜t≤4时，分别用t表示出AQ和△APQ中边AQ上的高，利用三角形面积公式求解即可；

（4）分四种情况讨论：①当PQ⊥BC时，②当PQ⊥AB时，③当PQ⊥AC时，④当PQ∥AB时，根据题意，分别利用同角的三角函数相等和相似三角形的判定和性质求解即可.

解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴；

（2）由题意可知，当0≤t≤2时，点P在AB上，当2＜t≤4时，点P在BC上（不包含B），

∴当0≤t≤2时，BP=10-5t，

当2＜t≤4时，BP=3·(t-2)=3t-6；

（3）分两种情况讨论：

①当0≤t≤2时，过点P作PE⊥AC于点E，

由题意得：AP=5t，CQ=3t，则AQ=8-3t，

∵sin∠PAE=，

∴PE=3t，

∴；

②当2＜t≤4时，

∵BP=3t-6，

∴CP=12-3t，

∴，

综上所述：；

（4）分四种情况讨论：

①由题意可得，当PQ⊥BC时，t=0或t=4；

②当PQ⊥AB时，如图，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

③当PQ⊥AC时，如图，

∵AP=5t，AQ=8-3t，

∴，

∴，

解得：；

④当PQ∥AB时，易得△CPQ∽△CBA，如图，

∵CP=12-3t，CQ=3t，

∴，即，

解得：，

综上所述，当t=0或t=4或或或时，PQ与△ABC的一边平行或垂直.