Question

8．设x₁、x₂是方程x²-x-5=0的两个实数根．则x₁³-2x₂²-4x₂+5的值为±6$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程解的定义得到x₁²=x₁+5，则x₁³=6x₁+5，x₂²=x₂+5，所以x₁³-2x₂²-4x₂+5可化为6（x₁-x₂），再利用根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=-5，接着利用完全平方公式可计算出x₁-x₂═±$\sqrt{21}$，从而得到x₁³-2x₂²-4x₂+5=±6$\sqrt{21}$．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²-x-5=0的两个实数根，
∴x₁²-x₁-5=0，则x₁²=x₁+5，
∴x₁³=x₁²+5x₁=6x₁+5，
x₂²-x₂-5=0，则x₂²=x₂+5，
∴x₁³-2x₂²-4x₂+5=6x₁+5-2（x₂+5）-4x₂+5=6（x₁-x₂），
∵x₁、x₂是方程x²-x-5=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-5，
∴x₁-x₂=±$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\sqrt{1-4×（-5）}$=±$\sqrt{21}$，
∴x₁³-2x₂²-4x₂+5=±6$\sqrt{21}$．
故答案为±6$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程解的定义．