Question

1．等边△ABC的三条边上，有三条相等的线段A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂．证明：直线B₂C₁、C₂A₁、A₂B₁所成的三角形上三条线段B₂C₁、C₂A₁、A₂B₁与包含它们的边成比例．

Answer 1

分析 由这六个点为△ABC三边的三等分点，可得出三对相似三角形：△AB₂C₁∽△ABC，△BA₁C₂∽△BCA，△CA₂B₁∽△CBA；再由相似三角形的性质可得$\frac{{B}_{2}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{1}{C}_{2}}{AC}$=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{AB}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：∵等边△ABC的三条边上，有三条相等的线段A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂，
∴A₁、A₂、B₁、B₂、C₁、C₂为△ABC三边的三等分点，
∴B₂C₁∥BC，A₁C₂∥AC，A₂B₁∥AB，
∴△AB₂C₁∽△ABC，△BA₁C₂∽△BCA，△CA₂B₁∽△CBA，
∴$\frac{{B}_{2}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{BC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{1}{C}_{2}}{AC}$=$\frac{{B}_{1}{B}_{2}}{AC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{A}_{2}{B}_{1}}{AB}$=$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{AB}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．根据题意推知B₂C₁∥BC，A₁C₂∥AC，A₂B₁∥AB是解题的难点．