Question

10．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5$\sqrt{2}$，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 5$\sqrt{2}$-3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 连结OQ、OP，如图，先利用等腰直角三角形的性质计算出AB=$\sqrt{2}$OB=10，再根据切线的性质得OQ⊥PQ，根据勾股定理得PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-{3}^{2}}$，利用垂线段最短得OP⊥AB时，OP最小，此时OP=$\frac{1}{2}$AB=5，所以PQ的最小值为4．

解答 解：连结OQ、OP，如图，
在Rt△AOB中，∵OA=OB=5$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$OB=10，
∵PQ为切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-{3}^{2}}$，
当OP最小时，PQ最小，
而当OP⊥AB时，OP最小，此时OP=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴PQ的最小值为$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
故选C．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．