Question

已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E,D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设，当t 为何值时，s有最小值，并求出最小值。

（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）y=-1/4 x²+3/2 x-2（2）1（3）当t=2 /3 或t=10/ 7 时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，证明见解析

【解析】解：（1）由抛物线y=ax²+bx-2得：C（0，-2），

∴OA=OC=2，

∴A（2，0），

∵△ABC的面积为2，

∴AB=2，

∴B（4，0），

∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），

a=-1/4 ，

∴抛物线的解析式为y=-1/4 (x-2)(x-4)=-1/4 x2+3/2 x-2，

答：抛物线的解析式为y=-1/4 x²+3/2 x-2．

（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，

∵ED∥BA

可得：ED /OB =CE /CO ，

即ED/4 =CE/2 ，

∴ED=2CE=2t，

②解：由题意可求：CD= 5 t，CB=2 5 ，

∴BD=2 5 - 5 t，

∵∠PBD=∠ABC，

∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：

（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；

（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出EDOB =CE CO ，求出ED=2CE=2t，根据1 ED +1 OP =1 2t +1 4-2t =4 2t(4-2t) =1 -t2+2t ，求出即可；

②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：BP AB =BD BC 和BP BD =BC BA 代入求出即可．