Question

如图，抛物线m=2与PEDF轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长；
②并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标；
（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．
根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．

解答：解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）

（2）
①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

3k+b=0 b=3

解得：k=-1，b=3．
∴直线BC的函数关系式为：y=-x+3．
抛物线的对称轴为直线x=1
当x=1时，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
当x=m 时，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
在y=-x²+2x+3 中，当x=1 时，y=4，
∴D（1，4）．
当x=m 时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴线段DE=4-2=2，线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）；

②∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，
解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．