Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AC，过点B作BE⊥AC于点E．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若AD=4，CD=3，求BC的长．

Answer 1

考点：直角梯形,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先根据垂直可得∠1=∠D=90°，再根据AB∥CD可得∠2=∠3，然后再有条件AC=BC可利用ASA证明△ADC≌△BEA；
（2）首先根据全等三角形的性质可得AD=BE=4，AE=CD=3，在Rt△ADC中利用勾股定理可得AC=5，然后再在Rt△CEB中利用勾股定理计算出BC长即可．

解答：（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠1=90°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3，
在△ADC和△BEA中，

∠2=∠3 AC=BC ∠1=∠D

，
∴△ADC≌△BEA（ASA）；

（2）解：∵△ADC≌△BEA，
∴AD=BE=4，AE=CD=3，
在Rt△ADC中：AC=

AD2+CD2

=5，
∴CE=5-3=2，
在Rt△CEB中：BC=

CE2+BE2

=

4+16

=2

5

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是证明△ADC≌△BEA推出AD=BE=4，AE=CD=3．