Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx-2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax²+bx-2的对称轴是直线x=1，A（-2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，-2），求得BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，设D（m，0），得到E（m，$\frac{1}{2}$m-2），P（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，$\frac{7}{4}$），E（5，$\frac{1}{2}$），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）设M（n，$\frac{1}{2}$n-2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+$\frac{1}{2}$，于是得到N（$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2的对称轴是直线x=1，A（-2，0）在抛物线上，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=1}\\{（-2）^{2}a-2b-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（2）令y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-2=0，解得：x₁=-2，x₂=4，当x=0时，y=-2，∴B（4，0），C（0，-2），设BC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，∴y=$\frac{1}{2}$x-2，
设D（m，0），
∵DP∥y轴，
∴E（m，$\frac{1}{2}$m-2），P（m，$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2），
∵OD=4PE，
∴m=4（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m-2-$\frac{1}{2}$m+2），
∴m=5，m=0（舍去），
∴D（5，0），P（5，$\frac{7}{4}$），E（5，$\frac{1}{2}$），
∴四边形POBE的面积=S_△OPD-S_△EBD=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{2}×$1×$\frac{1}{2}$=$\frac{33}{8}$；
（3）存在，设M（n，$\frac{1}{2}$n-2），
①以BD为对角线，如图1，
∵四边形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，
∴n=4+$\frac{1}{2}$，
∴M（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∵M，N关于x轴对称，
∴N（$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
②以BD为边，如图2，
∵四边形BNDM是菱形，
∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH²+DH²=DM²，
即（$\frac{1}{2}$n-2）²+（n-5）²=1²，
∴n₁=4（不合题意），n₂=5.6，
∴N（4.6，$\frac{4}{5}$），
同理（$\frac{1}{2}$n-2）²+（4-n）²=1，
∴n₁=4+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（不合题意，舍去），n₂=4-$\frac{2\sqrt{5}}{4}$，
∴N（5-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
③以BD为边，如图3，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH²+BH²=BM²，
即（$\frac{1}{2}$n-2）²+（n-4）²=1²，
∴n₁=4+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，n₂=4-$\frac{2\sqrt{5}}{4}$（不合题意，舍去），
∴N（5+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），
综上所述，当N（$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{4}$）或（4.6，$\frac{4}{5}$）或（5-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）或（5+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、勾股定理，三角形的面积公式、菱形的性质、根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．