Question

已知关于x的两个一元二次方程：
方程①: ；方程②: .
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简；
（3）若方程①和②有一个公共根，求代数式的值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）5

试题分析：（1）根据方程①有两个相等实数根可得△，再结合一元二次方程的二次项系数不为0即可求得k的值，然后再代入方程②求解即可；
（2）由方程②得△₂= ，再根据可得，由方程①、②只有一个有实数根可得，即可求得k的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可；
（3）由a是方程①和②的公共根可得，，即可得到，，从而可以求得结果.
解：（1）∵方程①有两个相等实数根
∴ 
由③得k+2¹0
由④得(k+2)(k+4)=0
∵k+2¹0
∴k=-4
当k=-4时，方程②为: .
解得；
（2）由方程②得△₂= .
＝-(k + 2) (k+4) =3k²＋6k+5 =3(k+1)²＋2>0.
∴.
∵方程①、②只有一个有实数根，
∴
∴此时方程①没有实数根.
由
得(k+2)(k+4)<0
.
∵(k+2)(k+4)<0
∴；
（3）∵a是方程①和②的公共根
∴，
∴，

=
=
=2+3=5.
点评：解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．