Question

1．探究问题：
阅读理解：
如图（一），在△ABC中，BA=BC，P点在线段BC上，过A的射线AP上取一点D使得∠ABC=∠ADC=∠а，则总有实数k把线段AD、DB、DC的数量关系连接成AD=kDB+DC，其中k由角а的大小来确定．
探究过程：
（1）如图（二），若角а=60°，我们在AD上取点E，使得∠EBD=60°，从而得到∠ABE=∠CBD，于是可以说明△ABE≌△CBD，则AD=kDB+DC中的k=1．
（2）如图三，若角а=90°，求证：AD=kDB+DC等式中k=$\sqrt{2}$；
问题解决：
（3）①若角а=120°，则（k+1）（k-1）=2； 
②若角а=36°，则k•（k+1）=2； 
问题结论：
（4）综上，我们可以得到一个结论：在“AD、DB、DC的数量关系AD=k•DB+DC”中的k=2sin$\frac{1}{2}α$（用与角а相关的三角函数来表示）

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的性质得到AE=CD，BE=BD，再利用等边三角形的性质得到BD=DE，即可；
（2）利用全等三角形的性质得到AE=CD，BE=BD，再利用勾股定理求出；
（3）判断出△ABE≌△CBD，求出ED=kBD，再利用等腰三角形的三线合一的性质构造出直角三角形，利用三角函数即可；
（4）根据（3）的解决方法，发现规律，从而得到k=sin$\frac{1}{2}α$．

解答 探究：
（1）解：∵△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，BE=BD，
∵∠EBD=60°，
∴BD=DE，
∵AD=AE+DE，AD=kDB+DC，
∴AE+DE=kDB+DC，
∴CD+DB=kDB+CD，
∴k=1，
故答案为1．

（2）
作∠DBE=90°，
和（1）方法一样，得出△ABE≌△CBD，
∴BE=BD，AE=CD，
∵AD=AE+ED=CD+ED=kDB+CD，
∴kDB=ED，
在Rt△DBE中，根据勾股定理得，BD²+BE²=DE²
∴BD²+BD²=（kBD）²
∴k=$\sqrt{2}$或k=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴AD=kDB+DC等式中k=$\sqrt{2}$．
问题解决：
（3）①作BF⊥AD，和（1）方法一样，得出△ABE≌△CBD，
∴BE=BD，AE=CD，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠DBE=60°，EF=DF，
∵AD=AE+ED，AD=kBD+CD，
∴ED=kBD，
∴DF=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$kBD，
在Rt△BFD中，sin∠DFB=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\frac{1}{2}kBD}{BD}$=$\frac{1}{2}$k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴（k+1）（k-1）=（$\sqrt{3}$+1）（$\sqrt{3}$-1）=2，
故答案为2．
②解：同（3）①方法一样，得到sin$\frac{1}{2}$α=sin18°=$\frac{1}{2}$k，
∵sin18°=$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
∴k=2×$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴k（k+1）=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$+1）=1
故答案为1．
（4）作BF⊥AD，

和（1）方法一样，得出△ABE≌△CBD，
∴BE=BD，AE=CD，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠DBE=$\frac{1}{2}$α，EF=DF，
∵AD=AE+ED，AD=kBD+CD
∴ED=kBD，
∴DF=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{1}{2}$kBD，
在Rt△BFD中，sin∠DFB=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\frac{1}{2}kBD}{BD}$=$\frac{1}{2}$k=sin$\frac{1}{2}$α，
∴k=2sin$\frac{1}{2}$α，
故答案为2sin$\frac{1}{2}α$．

点评 本题是相似形的综合题，涉及到的知识点有，全等三角形的判定和性质，由△ABE≌△CBD得出BE=BD，AE=CD，勾股定理BD²+BE²=DE²，锐角的三角函数sin∠DFB=$\frac{DF}{BD}$，解决本题的关键是辅助线的作法．