Question

5．如图，等边△ABC的边长为2，且PA=PC，∠APC=120°，现有∠MPN=60°，将∠MPN绕着P点旋转，使其两边分别与AB、BC交于点N、M．试判断在旋转过程中，△BMN的周长是否发生变化？若不变，请求出周长；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质求出∠PAC=∠PCB=90°，则把△PCM绕点P逆时针旋转120°得到△PAD，如图，根据旋转的性质得PD=PM，AD=CM，∠PAD=∠PCM=90°，∠MPD=120°，再判断点D在BA的延长线上，则ND=NA+AD=NA+MC，接着证明△PND≌△PNM得到MN=DN，然后利用等线段代换可得△BMN的周长=BA+BC=4．

解答 解：△BMN的周长不变．
∵PA=PC，∠APC=120°，
∴∠PAC=∠PCA=30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠PAC=∠PCB=90°，
把△PCM绕点P逆时针旋转120°得到△PAD，如图，
∴PD=PM，AD=CM，∠PAD=∠PCM=90°，∠MPD=120°，
∵∠PAB=90°，
∴点D在BA的延长线上，
∴ND=NA+AD=NA+MC，
∵∠MPN=60°，
∴∠DPN=60°，
在△PND和△PNM中
$\left\{\begin{array}{l}{PN=PN}\\{∠DPN=∠MPN}\\{PD=PM}\end{array}\right.$，
∴△PND≌△PNM，
∴MN=DN，
即MN=NA+MC，
∴，△BMN的周长=BN+MN+BM=BN+NA+MC+BM=BA+BC=2+2=4．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．