Question

8．（1）已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60°（如图①）．求证：EB=AD；
（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；
（3）若将（1）中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”，其它条件不变，则$\frac{EB}{AD}$的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）

Answer 1

分析 （1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；
（3）作DF∥BC交AC于F，同（1）得：△DBE≌△CFD，得出EB=DF，证出△ADF是等腰直角三角形，得出DF=$\sqrt{2}$AD，即可得出结果．

解答 （1）证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：
则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，
∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，
∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}&{\;}\\{∠DBE=∠DFC=120°}&{\;}\\{ED=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；
（2）解：EB=AD成立；理由如下：
作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：
同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
又∵∠DBE=∠DFC=60°，
∴在△DBE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠FDC}&{\;}\\{∠DBE=∠DFC}&{\;}\\{ED=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∴EB=AD；
（3）解：$\frac{EB}{AD}$=$\sqrt{2}$；理由如下：
作DF∥BC交AC于F，如图3所示：
同（1）得：△DBE≌△CFD（AAS），
∴EB=DF，
∵△ABC是等腰直角三角形，DF∥BC，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF=$\sqrt{2}$AD，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EB}{AD}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．