Question

16．如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD成轴对称的△BC′D．
（1）当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．
（2）当图1中的直线l经过点A，且k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．
（3）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作与△DOE成轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；
（2）首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可；
（3）根据题意得出△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案．

解答 解：（1）∵△CBD≌△C′BD，
∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，
∴∠CBC′=30°，
如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB=$\sqrt{3}$，
∴CH=2-$\sqrt{3}$，
∴点C′的坐标为：（2-$\sqrt{3}$，1）；

（2）如图2，∵A（2，0），k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴代入直线AF的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则直线AF的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，故∠BAC′=60°，
∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，
∴当D与O重合时，点C′与A重合，
且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形
当C′在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$上时，BC′=BC=AB，∠BAC′=60°，
∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°，
∴重叠部分的面积是：$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$；

（3）如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE，
若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，
在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°，
∴CO′∥DE，
∴CD=OD=1，
∴b=1，
连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，
∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，
在Rt△BAE和Rt△BC′E中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AB=BC′}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），
∴AE=C′E，
∴DE=DC′+C′E=DC+AE，
设OE=x，则AE=2-x，
∴DE=DC+AE=3-x，
由勾股定理得：x²+1=（3-x）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∵D（0，1），E（$\frac{4}{3}$，0），
∴$\frac{4}{3}$k+1=0，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=-$\frac{3}{4}$，b=1．

点评 此题主要考查了相似形综合以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确得出AE=C′E是解题关键．