Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，连接AD、BD、CD，且BD＝AB

（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；

（2）若D为弧AC的中点，求tan∠BDC．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）tan∠BDC＝．

【解析】

（1）连接OD，连接BO并延长交AD于H，可得△BOA≌△BOD，所以∠ABO=∠DBO，再证CD∥BO，可得∠ABD=2∠DBO=2∠BDC；
（2）由D为弧AC的中点，可得△AOD，△OCB为等腰直角三角形，在Rt△BHD中利用锐角三角形函数的定义求得tan∠DBO的值，即可得出tan∠BDC的值．

（1）如图，连接OD，连接BO并延长交AD于H，

∵OD＝OA，BD＝AB，OB＝OB，

∴△BOA≌△BOD（SSS），

∴∠ABO＝∠DBO，

∴BH⊥AD，

∵以AC为直径作⊙O，

∴CD⊥AD，

∴CD∥BO，

∴∠BDC＝∠DBO，

∴∠ABD＝2∠DBO＝2∠BDC；

（2）∵D为弧AC的中点，

∴∠AOD＝∠COD＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA＝∠HOD＝45°，

∴∠COB＝∠OBC＝45°，

设OH＝DH＝a，

∴OC＝OD＝a，

∴OB＝2a，

在Rt△BDH中，tan∠DBO＝，

∵∠BDC＝∠DBO，

∴tan∠BDC＝．