Question

【题目】如图①，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）如图②，当∠ABC＝90°时，线段DE与BC有什么数量关系？请说明理由．

（3）如图③，若AB＝AC＝10，sin∠CDE＝，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DE＝BC，见解析；（3）4

【解析】

（1）先判断出∠BDC＝90°，再判断出∠ABD＝∠ODB，即可得出结论；

（2）先判断出BE＝DE，再判断出CE＝DE，即可得出结论；

（3）先利用三角函数求出AB＝10，AD＝6，再用勾股定理求出BD＝8，即可得出结论．

解：（1）证明：如图①，连接OD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠CDE+∠BDE＝∠BDC＝90°．

∵∠CDE＝∠ABD，

∴∠ABD+∠BDE＝90°．

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠ODB+∠BDE＝90°，

即∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

（2）DE＝BC．

理由如下：由（1）知∠ODE＝90°，

∴∠ODB+∠BDE＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠OBD+∠DBE＝90°．

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE．

∵∠ABC＝90°，

∴∠C+∠A＝90°．

∵∠ABD+∠A＝90°，

∴∠C＝∠ABD．

∵∠CDE＝∠ABD，

∴∠C＝∠CDE，

∴DE＝CE，

∴BE＝DE＝CE．

∴DE＝BC．

（3）∵∠CDE＝∠ABD，

∴sin∠CDE＝sin∠ABD＝．

在Rt△ABD中，

∵sin∠ABD＝＝，AB＝10，

∴AD＝AB＝×10＝6，

∴BD＝＝＝8．

在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，CD＝10﹣6＝4，

∴BC＝＝＝4．